2.9. Aplicaciones área bajo la curva.

 

1. 1)Áreas entre curvas 
   

   Aquí usamos integrales para calcular las áreas de regiones que quedan entre las gráficas de dos funciones. Considere la región S que se ubica entre dos curvas y f (x) y y (x) y entre las rectas verticales x=a y x=b, donde f y son funciones continuas y f(x)≥g(x) para toda x en [a, b].

   De la misma manera, como lo hicimos para áreas bajo curvas , dividimos S en n franjas con igual anchura, y luego calculamos el valor aproximado de la i-ésima franja mediante un rectángulo de base x y altura . 

   

   
   
   

   Por lo cuál podemos considerar que el área S puede ser expresada como un limite

                                                                           n

                                                         A= lim      𝜮 [F(xi)-g(xi)]Δx
                                                               n⟶∞   i=1

   El área A de la región limitada por las curvas y f(x), y (x) y las rectas x a, x b, donde f y son continuas y f(x) (x) para toda x en [a, b], es

                                                           b                 

                                                     A= ∫   [F(x)-g(x)] dx

                                                          a     

   ➤ Determine el área de la región acotada por arriba por y=ex, por abajo por y=x y a los lados por x=0 y x=1. La curva que limita la parte superior es y=ex, y la curva del límite inferior es y=x. De este modo usamos la fórmula del área con f(x)=ex, g(x)=x, a=0 y b=1.

   
   

          1                                             1                                

   A= ∫ (ex - x) dx =[ ex - 1  x² ]  =e - 1 - 1 = e - 1.5

         0                                     2       0          2                     

2. 2)  Volúmenes 

   Sea S un sólido que está entre x = a y x = b. Si el área de la sección transversal de S en el plano Px, a través de xy perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de S es:

   
   

                       n                         b
   V= lim   ∑ A(x) ∆x= ∫  A(x) dx  
          n⟶∞   i=1                               a

   Es importante recordar que A(x) es el área de una sección transversal que se obtiene al cortar a través de x con un plano perpendicular al eje x.

   

   
   

   ➤Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por y=x3, y=8 y x=0 respecto al eje y. Si cortamos a una altura y, obtenemos :

   Un disco de radio x, donde x √y3  

   Una sección transversal a través de y es A(y)=πy2/3

   y el volumen del cilindro de aproximación  es A(y) Δy =πy2/3 Δy Puesto que el sólido está entre y=0 y y=8, su volumen es:

    

          8                  8                                          8  
   

   V= ∫ A(y) dy =∫ π y2/3 dy = π [ 3 y^5/3 ]  = 96 π

        0               0                          5       0        6

   
   

3. 3)  Volúmenes mediante cascarones cilíndricos

   Algunos problemas relacionados con volúmenes son muy difíciles de manejar con los métodos de las secciones anteriores. Por fortuna, hay un sistema llamado método de los cascarones cilíndricos, que es más fácil de usar en ciertos casos. Sea S el sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y a la región limitada

   

   
   
   

   Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi1, xi] de igual anchura x y sea xi, el punto medio del subintervalo. Si el rectángulo de base [xi1, xi] y altura f xi se hace girar alrededor del eje y, entonces el resultado es un cascarón cilíndrico cuyo radio promedio es xi, altura f (xi) y espesor x, de modo que, por la fórmula de su volumen es:

   

   
   

   ➤Calcule el volumen del sólido obtenido al hacer girar alrededor del eje y la región entre y=x  y y=x2. El cascarón tiene radio x, circunferencia 2πx y altura x-x 2. Así que el volumen es:

          1                                        1                                                  1
   

   V= ∫ (2πx)( x-x²) dx =2π ∫ [ x² - x³ ] dx = 2π [ x² - x³ ] = π

        0                                 0                              3    4   0     6

   
   

   4)  Trabajo 

4.  En el caso de aceleración constante, la fuerza F  es constante, y el trabajo realizado esta definido como el producto de la fuerza F por la distancia d que el objeto recorre:

   W=Fd

   Por tanto, definimos el trabajo realizado al mover el objeto desde a hasta b como el límite de esta cantidad cuando n ⟶∞. Su límite es una integral definida, así que

                     n                b

   W= lim   ∑ f(x) x= ∫  f(x) dx  

          n⟶∞   i=1                  a

   
   

   ➤Cuando una partícula se ubica a una distancia x pies del origen, una fuerza de x2 + 2x libras actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla desde x=1 hasta x= 3

           3                                           3                             
   W= ∫ (x²+ 2x) dx = [ x³ + x² ] = 50
         1                         3         1     3   

    

          

   5)  Valor promedio de una función 

Si f es continua sobre [a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal que : 

                                      b                                        b

f(c)= f_prom =    1     ∫ f(x) dx    es decir    ∫  f(x) dx  = f(c)(b-a)+

   b-a    a                                 a

La interpretación geométrica del teorema del valor medio para integrales es que, para funciones positivas f, hay un número c tal que el rectángulo con base [a, b] y altura f (c) tiene la misma área que la región bajo la gráfica de f desde a hasta b. 

➤Determine el valor promedio de la función f (x) = 1+x 2 sobre el intervalo [1, 2].Con a 1 y b 2 tenemos

                                     b                                2                                                               2
f(c)= f_prom =    1     ∫ f(x) dx =   1        ∫ (1+x² ) dx =  1    [ x + x³ ] = 2

                     b-a    a              2 - (-1) -1                       3            3   -1

Ejercicios propuestos:

1. Para mantener estirado un resorte cuya longitud natural es 10 cm y se lo alarga hasta 15 cm se requiere una fuerza de 40 N. ¿Qué trabajo se requiere para alargarlo 3 cm más? 
2. Se conoce que para estirar 1 cm un resorte de 12 cm de largo en estado natural, se requieren 80 N. Calcular el trabajo necesitado para estirarlo a) desde 12 a 15 cm b) desde 15 a 16 cm. 
3. Un tanque de forma cilíndrica de 5 m de diámetro y 8 m de profundidad está lleno de agua (1000 kp/m3). Calcular el trabajo para bombear el agua hasta el borde superior de la cisterna. 
4. Si el tanque del problema 2 tiene agua hasta los 5 m de profundidad, calcule el trabajo para bombear el agua igualmente hasta el borde superior del tanque. 
5. Calcular el trabajo necesario para llevar agua hasta el extremo superior del depósito de la figura 44. El largo del tanque es de 50 p y el diámetro es 20 p, suponiendo que dicho recipiente se encuentra 7 pies lleno. 

Referencia

• Stewart J. (2012) Cálculo de una variable (7ª ed) Cengage Learning