2.4 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales

Una función racional está formada por el cociente de dos funciones polinómicas con exponentes enteros (no negativos ni fraccionarios), es decir tienen la forma siguiente:

                  F(x)= f(x)                  es decir                  F(x)= a_nXⁿ+a_nXⁿ+a_nXⁿ+...+a_nXⁿ+a_nXⁿ

                           g(x)                                                      b_nXⁿ+b_nXⁿ+b_nXⁿ+...+b_nXⁿ+b_nXⁿ

Una fracción racional puede ser:

• Impropia: El grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el grado del polinomio del denominador.
• Propia: El grado del polinomio del numerado es menor que el grado del polinomio del denominador.

El método que más adelante se explicará funciona con fracciones racionales propias, de tal manera que si se tiene una fracción racional impropia, es necesario hacer la división del polinomio para poder trabajar con la fracción propia.

Antes de aplicar el método, es necesario descomponer el denominador en factores simples de tal manera de aplicar alguno de los siguientes casos:

Caso 1: Factores lineales distintos.

A cada factor lineal ax+b, del denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma

                                                                         A       

                                                                      ax+b

siendo A una constante a determinar.

Caso 2. Factores lineales iguales.

A cada factor lineal ax+b que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma siendo A1, A2,.....,An constantes a determinar siendo A1, A2,.....,An constantes a determinar

                                                                A₁    +    A_{2    +....+}   A_n   
                                                            (ax+b)    (ax+b)²       (ax+b)ⁿ

Caso 3. Factores cuadráticos distintos. 

A cada factor cuadrático reducible ax2+bx+c que figure en el denominador de una fracción propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar 

                                                                             A_xB      
                                                                       ax² +bx+c 

Caso 4. Factores cuadráticos iguales. 

A cada factor cuadrático irreducible, ax2+bx+c, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma siendo A y B constantes a determinar.

                                              A₁x+B_{1   +}    A₂x+B₂   +....+    A_nx+B_n

                                           ax²+bx+c    (ax²+bx+c)²        (ax²+bx+c)ⁿ 

Ejemplo

➤∫  5x+3

         x²-9

  El integrando es una función racional propia, ya que el máximo exponente en el numerador  es 1 mientras que el mácimo exponente del denominador es 2 .

5x+3 =        5x+3                                     ...Se descompone el denominador

 x²-9       (x+3)(x-3)

Al tener dos factores lineales  (x+3) y (x-3) diferentes, entonces se aplica el caso 1

    5x+3     =   A    +   B     =   A(x-3)     +  B (x+3)      =  Ax-3A+Bx+3B  =  (A+B)x+3B-3A     
(x+3)(x-3)     (x+3)  (x-3)      (x+3)(x-3)    (x+3)(x-3)         (x+3)(x-3)              (x+3)(x-3)

    5x+3     =  (A+B)x+3B-3A               por lo que que             A+B=5

(x+3)(x-3)          (x+3)(x-3)                                                     3B-3A=3

Apartir de esas dos ecuaciones podemos despejar A y B:

     
                                                                6B=18
                           3(A+B=5)=           3A + 3B = 15
                                                   - ( 3B - 3A =    3)

                                                               6B=18

∴  B=18/6= 3                      A=2

Por lo cual la integral original se convierte en :

∫  5x+3  dx  =  ∫  2    dx  +∫ 3 dx

     x²-9               x+3           x-3

Convirtiéndose en dos integrales pueden ser fácilmente resueltas usando sustitución de variables obteniendo:

∫  5x+3  dx  = 2ln Ix+3I +3ln Ix-3I +C

      x²-9  

Ejercicios propuestos

1.∫5x²+3x-1 dx

x³+2x

 

2.∫x³-4x-10 dx

       x²-x-6

 

3.∫   x-1   dx

    x+3x+2

 

 

4.∫    25          dx

     x²(x+25)

 

5.∫x²+2x-1  dx

x²-1

Referencia  

• Stewart J. Cálculo de una variable (7º ed.) Editorial CENGAGE learning