2.5. Integral definida concepto

Si f es una función continua definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho Δx=(b - a)/n. Sean X0 (=a), X1, X2, . . . , Xn (= b) los puntos extremos de estos subintervalos y sean X*1 , X*2 , . . . , X*n los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que X*i se encuentre en el i-ésimo subintervalo Xi1, Xi]. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es

                                            b                                n
                                       ∫f(x) dx=  lim      ∑ f(x*i)Δx
                                      a                   n⟶∞   i=1

siempre que este límite exista y dé el mismo valor para todos las posibles elecciones de los puntos muestra. Si existe, decimos que f es integrable sobre [a, b].
El significado preciso del límite que define a la integral es como sigue:
                        Para cualquier número ε > 0, existe un entero N tal que 

                                             b                             n

                                       I    ∫f(x) dx=  lim     ∑ f(x*i)Δx   I < ε

                                               a               n⟶∞    i=1

            Para cualquier entero n > N y para cualquier elección de X*i en [Xi-1,Xi]

 

Nota 1 

∫ = se llama signo de integral     (Es una S alargada debió a que la integral es un límite de                                  sumas)
f(x)= Se llama integrando 
a y b = Límites de integración            a=Límite inferior     b=límite superior
dx= indica que la variable independiente es x.

Nota 2

   La integral definida es un número que no depende de x. De hecho, podría utilizarse cualquier letra en lugar de x sin cambiar el valor de la integral:

                                                                  b               b             b

                                                                  ∫f(x) dx=∫f(t) dt=∫f(r) dr

                                                                                         a              a             a

Nota 3

La integral definida de una función integrable puede aproximarse dentro de cualquier grado de exactitud mediante la suma de Riemann. Sabemos que si f es positiva, entonces la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los rectángulos de aproximación .

 

 Si f toma valores tanto positivos como negativos , entonces la suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran arriba del eje x y los negativos de las áreas de los rectángulos que están debajo del eje x 

Nota 4 

Aunque hemos definido ∫f(x) dx  dividiendo [a, b] en subintervalos del mismo ancho, hay situaciones en las que resulta ventajoso trabajar con intervalos de diferente ancho.

Los anchos de los intervalos son X1, X2,..., Xn, debemos asegurarnos de que todos estos anchos tiendan a 0 en el proceso de determinación de límites. Esto sucede si el ancho más grande, máx Xi, tiende a 0. De manera que en este caso la definición de la integral definida se convierte en

                                        b                                      n

                                         ∫f(x) dx=     lim        ∑ f(x*i)Δx   

                                         a                   máx ∆x1⟶0    i=1

Nota 5 

Hemos definido la integral definida para una función integrable, pero no todas las funciones son integrables. El teorema siguiente muestra que la mayor parte de las funciones que usualmente se presentan en realidad son integrables.

Referencia

• Stewart J. (2012) Cálculo de una variable (7ª ed) Cengage Learning