2.8. Integral definida de funciones.

 Para esta sección es bueno repasar los conocimientos sobre trigonometría porque se utilizara el uso de identidades para esta sección.

⧗ Caso 1. Integrales de la forma  ∫Senⁿ dx ∫cos ⁿ dx 

Cuando los integrales tienen esta forma, pueden presentarse dos ca-sos:

a)Si n es impar, usar la identidad trigonométrica Sen² x + cos ²x= 1

 ⦁∫Sen⁵ x dx 

      ∫Sen⁵ x dx =  ∫Sen⁴ x (sen x) dx =∫(Sen² x)² (sen x) dx

se usa la identidad trigonometrica Sen² x + cos ²x = 1  ∴ Sen² x = 1- cos ²x

   ∫(1- cos ² x)² (sen x) dx = ∫(1- 2cos ² x + cos⁴x) (sen x) dx =

   ∫sen x dx - ∫2cos ² x sen x dx + ∫cos⁴x sen x dx

usamos cambio de variable sustituyendo u=cosx y du=-sen x dx

     = -cos x + 2 ∫u ² du- ∫u⁴ du = -cos x + 2 ∫u ³ du - ∫u⁵ du
                                                                      3            5

retomamos a la variable original y obtenemos la solución:

     ∫Sen⁵ x dx = -cosx+2 cos³ x - cos⁵x +C
                                            3            5

b)Si n es par, se recomienda usar las identidades trigonométricas siguientes: 

  Sen² x = (1-cos2x), cos² x= (1+cos2x)

                                                                  2                               2

⦁ ∫Sen⁴ x dx

 ∫Sen⁴ x dx= ∫ ( (1-cos 2x)² dx =∫1-2cos 2x-cos ² 2x  dx

                                  2                                  4 

 = 1 ∫dx - 1 ∫cos 2x  dx + 1 ∫cos ² 2x dx

    4          2                      4

 = 1 ∫dx - 1 ∫cos 2x  dx + 1 ∫1+cos 4x dx     (volvemos a utilizar identidad trigonométrica)

    4          2                      4        2

 = 1 ∫dx - 1 ∫cos 2x  dx + 1 ∫dx + 1 ∫cos 4x dx

    4          2                      8           8        

 =   1 x   - 1 (sen 2x)     + 1 x    + 1  sen 4x 

      4         2       2             8          8       4

 ∫Sen⁴ x dx = 3 x - 1 sen2x + 1  sen4x + C

                       8      4              32

⧗Caso 2. Integrales de la forma ∫ Sen^m x cos ⁿ x dx 

a) Los exponentes m o n son impares

⦁ ∫Sen³x cos^-4x dx

   ∫Sen³cos^-4xdx= ∫sen²x senx cos^-4x dx= ∫(1-cos²x) cos^-4x senx dx

   = ∫cos^-4 senx dx-  ∫cos^-2x senx dx

Cambio de variable  u= cosx      du = -senx dx

  = - ∫ u^-4 du +  ∫u ^-2 du = u^-3  +  u^-1 + C

                                        -3       -1

  =cos^-3x – cos^-1 x  + C

       3               1

 ∫Sen³x cos^-4x dx = 3sec^-3x – sec x+ c

►La idea de partir sen3x en sen2x y senx fue formar la pareja cosx y senx para poder aplicar cambio de variable.◀︎

b) Los exponentes m y n son pares

⦁∫Sen²x cos⁴x dx

  ∫Sen²x cos⁴x dx =∫Sen²x (cos²x)² dx = ∫ (1-cos2x) (1-cos2x)² dx

                                                                          2               2

  =1 ∫ (1-cos2x)(1+2cos2x+cos²2x) dx = 1  ∫(1+2cos2x+ cos²2x-cos2x-2cos²2x-cos³2x)dx

    8                                                           8

 = 1  [ ∫dx+∫cos2x dx- ∫cos²2x dx -∫cos³2x dx ]

    8

 

Se resuelve cada integral

∫dx= x+c

∫cos2x dx= 1 sen2x + c

                   2

∫cos²2x dx = 1  ∫ (1+cos4x) dx = 1  x + 1 sen 4x +c

                      2                             2        8  

∫cos³2x dx = 1 sen2x - sen³ 2x  + c

                      2                   6

Por lo tanto la respuesta final seria:

 =  1 [x + 1 sen2x - ( 1 x + 1 sen 4x) - (1 sen2x - 1 sen³ 2x )]+ c

     8        2                2       8                  2              6

 =  1 [x + 1 sen2x - 1 x - 1 sen 4x - 1 sen2x + 1 sen³ 2x ]+ c

     8        2              2       8              2              6

 

∫Sen²x cos⁴x dx =1  [ x - 1 sen4x + 1 sen³ 2x ]+ c

                              8   2    8              6

⧗Caso 3. Integrales de la forma ʃsen(mx)cos(nx) dx, ʃsen(mx) sen(nx) dx, ʃcos(mx)cos(nx) dx

Para estos casos se recomienda usar las identidades de ángulo múltiple y de ángulo negativo que se muestran a continuación:

   1)sen(mx)cos(nx)= 1/2[sen(m+n) + sen(m-n)x] 

   2)sen(mx)sen(nx)= 1/2[cos(m+n) + cos(m-n)x] 

   3)cos(mx)cos(nx)= 1/2[cos(m+n) + cos(m-n)x] 

   4)sen(-x)= -senx                                               

   5)cos(-x)                                                       

⦁ ∫sen2xcos4x dx    

Aplicando la identidad en 1 en donde  m=2 y n=4

 

∫sen2x cos4x dx  = ∫ 1  [sen(2+4)x + sen(2-4)x]dx = 1  ∫sen 6x + sen (-2x) dx

                                  2                                               2

aplicamos la identidad 4               

  = 1  ∫(sen6x-sen2x)dx = 1 [(- cos 6x) + cos 2x] + C
     2                                  2        6               2

∫sen2xcos4x dx   = -1 cos6x + 1 cos2x + c

                                12             4

 

⦁∫cos3x cox dx

aplicamos la identidad 3 haciendo m=3 y n=1

 ∫cos3x cox dx = 1 ∫(sen6x - sen2x) dx = 1 [(-cos6x)+cos2x]+c
                            2                                    2        6         2

 

 ∫cos3x cox dx = - 1 cos6x + 1 cos2x + c
                             12              4

⧗“Caso 4. Integrales de la forma ʃtgnx dx, ʃcotgnx dx”

Para llevar estas integrales a una forma donde pueda aplicarse el método de sustitución o cambio de variable, se recomienda usar las siguientes identidades:

1)tg² x =sec² x -1

      ∫tg² x = ∫(sec² x -1)= tgx - x + c

      ∫tg² x =  tgx - x + c

2)cotg² x =csc² x -1 

     ∫cotg³ x dx =∫cotgx cotg²x dx 

      =∫cotgx (csc²x-1) dx = ∫cotgx csc²x dx - ∫cotgx

sea u=cotgx, du= - csc² x dx

     =-∫udu-ln IsenxI + c = - u² - ln IsenxI + c =- cotg²x - ln IsenxI + c
                                           2                                 2

⧗Caso 5. Integrales de la forma ʃtgmx secnx dx, ʃcotgmx cscnx dx”

   1)Si el exponente n es par

⦁∫tg³3x  sec⁴3x  dx 

    ∫tg³3x (1+tg²3x)sec²3x  dx  =∫tg³3x sec²3x  dx + ∫tg⁵3x sec²3x  dx

Usamos sustitución de variable siendo u= tg3x, du=3sec²3x  dx

    = ∫1 tg³3x (3)sec²3x  dx + ∫1 tg⁵3x (3)sec²3x  dx
         3                                      3

   

    = 1 ∫u³ du + 1 ∫u⁵  du  =  1  u⁴  + 1 u⁶  + c

       3               3                  3  4      3 6

   

 ∫tg³3x  sec⁴3x  dx =   tg⁴3x  + tg⁶3x + 

                                      12          18

     

    2)Si el exponente n es impar

⦁∫cotg³x csc³x dx 

   

   ∫cotg²x csc²x ctgx cscx dx

 

Usando la identidad ctg²x =csc²x-1

   ∫cotg³x csc³x dx =∫ (csc²x-1)csc²x ctgx cscx dx

   =∫csc⁴x cotgx cscx dx - ∫ (csc²x ctgx cscx dx

Usamos sustitución de variable siendo u=cscx, du=-cscx cotgxdx

  

   = -∫u⁴du + ∫u²du = - u⁵ + u³ + c = - csc⁵ + csc³x+ c 

                                    5     3                5         3

Los casos aquí expuestos cubren una gran cantidad de integrales de combinaciones de funciones trigonométricas, sin embargo puede haber otros casos en donde probablemente se puedan integrar aplicando alguno de los métodos ya vistos. 

Ejercicios propuestos

    1. ∫arccotgx dx
    2. ∫xtg ^-1 x dx
    3. ∫arcsen√x dx
            √x

Referencia 

• Araujo F. (2018)Cálculo Integral (1ra ed.)Editorial Universitaria Abya-Yala Quito-Ecuador