2.7. Teorema fundamental del cálculo.

 El teorema fundamental del cálculo recibe de manera apropiada este nombre porque establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. 

El profesor de Newton en Cambridge, Isaac Barrow, descubrió que en realidad estos dos problemas estaban íntimamente relacionados. De hecho, se dio cuenta de que la derivación y la integración son procesos inversos. El teorema fundamental del cálculo precisa la relación inversa entre la derivada y la integral. 

En particular, observaron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas 

        1) Si f es continua sobre [a, b], entonces la función definida por 

                                         x
                          g(x)=∫ f(t) dt      a ≤ x ≤  b

                                  a

            es continua sobre [a,b] y g´(x)=f(x).

Expresa que la derivada de una integral definida respecto a su límite superior es el integrando evaluado tal límite.

            2 )Si f es continua sobre [a, b], entonces

                                 b
                            ∫ f(x) dx = F(b)-F(a)       a ≤ x ≤  b

                           a

            donde F es una antiderivada de f, es decir, una función tal que F´=f

                                                                                                                                    b
Establece que si conocemos una antiderivada F de f, entonces podemos evaluar f ∫(x) dx 

                                                                                                                                    a

simplemente calculando la diferencia de los valores de F en los extremos del intervalo [a, b].

Referencia 

• Stewart J. (2012) Cálculo de una variable (7ª ed) Cengage Learning