2.6. Propiedades de la integral definida

Ahora aparecen algunas propiedades básicas de las integrales que lo ayudarán a la evaluación de éstas con mayor facilidad. Suponga que f y g son funciones continuas. 

     a                     b                    
➤ ∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx                 El valor de la integral cambia de signo si se intercambian los 

     b                    a                                  limites de integración.           

             8                        5                                   5

               ∫ x² dx = -∫x² dx = - [ x³  ]  = -[ (5)³- (8)³ ]  = - (-387) =  387

               5                      8                           3    8                3       3                3         3

Comprobación...

             8                                   8                              

               ∫ x² dx  = [ x³  ]  = [ (8)³- (5)³ ]  = 387

               5                                 5             3       3           3

    a                  
➤ ∫ f(x)  dx = 0                      Si los limites de integración son los mismos, la integral vale cero.

    a                                     

             1                       1

             ∫ x² dx = [ x³ ] =  (1)³ - (1)³  = 0

               1                3  1       3       3

     b
➤ ∫ C dx = C (b - a)       La integral de una función constante (C) es la constante multiplicada 
    a                                       por la longitud del intervalo

               8

                ∫ π  dx = π ( 8-5) = π 3

               5   

     b                                  b                   b
➤ ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx      La integral de una suma o resta de funciones es 

    a                                   a                    a                   igual a la suma o resta  de las integrales.

                0                                                     0

               ∫ (x²-2x) dx = [ x³ - x² ]  = - (-1) + (-1)²  = 4

               -1                                   3             -1              3                  3

               1                                                           1

               ∫(x³ + 6x) dx= [ x⁴ + 6x² ] =  (1)⁴ + 6(1)² = 25

               0                                      4           0          4                   4

     b                          b    

➤ ∫ C f(x)dx = C ∫ f(x) dx     La integral del producto de una constante (C) por una función es 

    a                           a                 igual a la constante(C) por la integral de la función.

               8                               8                                  8

               ∫ π x³ dx =π ∫x³ dx = π[ x⁴  ]  = π[ (8)⁴- (5)⁴ ]  = π 3471

               5                              5                            4    5                4      4                4

    c             b                 b                     
➤ ∫ f(x) + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx    El área bajo f(x), desde a hasta c, más el área desde c hasta b 

     a             c                 a                 es igual al área total desde a hasta b.   

Ejercicios propuestos

1. ∫ 3^2x+2+3^x+2 dx
2. ∫ 5x+5 ^2x-2-25 ^x-1 dx
3. ∫ 4 e^x-5e^-x+e^x dx

Referencias

• Stewart J. (2012) Cálculo de una variable (7ª ed) Cengage Learning