2.3 Integración por sustitución trigonométrica

En este método se usa de base el teorema de pitagoras donde se representa la relación de un triángulo rectángulo con sus catetos e hipotenusa.

                 

 

h² = co²+ca²    ⟶     h = √co²+ca²          o    ca= √ h² -co²

          Senθ = co                      Cos θ = ca                 Tan θ =   co

                        h                                     h                                 ca

➤∫√4-x² dx  

Sustituimos la raíz y sus componentes (con raíz aplicada individualmente) en cada uno de los lados del triangulo.

                                                    

Con el cual podemos obtener las siguientes identidades trigonométricas:

Senθ = x                      Cos θ = √4-x²                  Tan θ =   x   

              2                                      2                                 √4-x² 

A partir de la identidad mas sencilla obtenemos:

Senθ = x      ⟶         2 Senθ = x            ...si derivamos obtenemos            2 Cosθ dθ= dx 

            2                                                  ...si elevamos al cuadrado             4 Sen² θ = x²  

                                    

Sustituimos valores en integral original

=   ∫√(4 -(4Sen² θ)) (2 Cosθ dθ) = 2∫√(4 (1-Sen² θ))Cosθ dθ        

=2∫√(4 Cos² θ)  Cosθ dθ                          Usamos la identidad trigonométrica 1-Sen² x=Cos² x

=2∫2 Cos θ  Cosθ dθ  = 4 ∫Cos² θ                                            Resolvemos la raíz y  la integral

= 4 ( θ + 1 Sen2θ)  = 2θ + Sen2θ

        2     4

=  2θ+(2SenθCos θ) +C                       Usamos la identidad trigonométrica Sen2x=2SenθCosθ

Para regresarlo términos de x usamos las identidades trigonométricas que obtuvimos al principio por lo que quedaría la respuesta final:

        Senθ = x       ... si despegamos θ obtenemos      θ= Sen^-1  x 

                    2                                                                                2

                                                                                                             

=  2θ+(2SenθCos θ) +C   = 2 (Sen^-1  x )+ 2 (x) (√4-x²) = 2 Sen^-1  x  + x√4-x²

                                                            2         2     2                        2         2

Ejercicios propuestos

     1. ∫25-x² dx
            x

     2.∫    dx    
        √(4-x²)³
 
    3. ∫     x³       dx

        √x²+100
 
    4.∫   x³       dx

        √16-x²

Referencia  

• Stewart J. Cálculo de una variable (7º ed.) Editorial CENGAGE learning