2.2.5. Por partes

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Cuando el cambio de variable no da resultado, se puede usar la integración por partes. Este método se basa en la fórmula para diferenciación de un producto de funciones. 

Sean u y v dos funciones derivables, entonces la diferenciación del producto de esas dos funciones es:

 ∫d(uv)=udv+vdu

Despejando el primer término del lado derecho de la ecuación, 

Udv=d(uv)-vdu

Integrando ambos lados de la ecuación, 

∫udv=∫d(uv)- ∫vdu

Ya que la integración y la diferenciación son dos procesos inversos, el primer término del lado derecho de la ecuación queda como el producto de las funciones u y v, 

∫udv=uv-∫vdu

que es la fórmula que se usa en el método de Integración por Partes. Los pasos para usar esta fórmula seria:

1) Identificar u y dv de la ecuación

Nota : El método de ILATE nos ayuda a definir quién tiene prioridad de ser u y por lo tanto saber quién es dv. ILATE es una palabra que nos permite memorizar el orden de prioridad que se tiene para seleccionar una función.

 I = Inversa
L = Logaritmica
A = Aritmetica
T = Trigonométrica
E = Exponencial

2) Derivar u  e integrar dv
3) Sustituir en formula ∫udv=uv-∫vdu
4) Integrar ∫vdu

En ocasiones el método de integración por partes hay que aplicarlo varias veces hasta llegar a la respuesta. 

 

● ∫ x sex dx   


1)∫ x sex dx         


                  u=x           dv= sex  dx

2)            du=dx           v= - cosx


3)  ∫udv=uv-∫vdu   ⟶   ∫x sex  dx = x (- cosx) - ∫(- cosx) dx


4) ∫(- cosx) dx= -senx + C


∴ ∫ x sex dx  = x (- cosx) - (-senx) + C = -xcosx + senx +C



● ∫x2 lnx dx 


∫x2 lnx dx

                  u= lnx         dv= x2dx

                du= dx            v= x3

                        x                  3

∫udv=uv-∫vdu   ⟶ ∫x2 lnx dx = lnx x3 - ∫x3 dx

                                                       3      3   x


∫x3 dx = 1  ∫x3  = 1  ∫ x2 = 1   x3 =  x3

 3    x     3   x       3            3   3      9


∴ ∫x2 lnx dx =  x3 lnx  - x3 

                        3          9   


Ejercicios propuestos
  1. ∫xcox dx
  2. ∫x/ cos2x  dx
  3. ∫e-x cos x dx
  4. ∫ 5x x2 dx
  5. ∫(x+1)2/((x+1)2+3)2 dx


Referencia 

  • Araujo F. (2018)Cálculo Integral (1ra ed.)Editorial Universitaria Abya-Yala Quito-Ecuador 

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