2.1. La integral indefinida (concepto de integración).

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Introducción

Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conoce la rapidez a la que crece una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro. En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es la función conocida f. Si tal función F existe, se llama antiderivada de f. 

Concepto de  Integral.

a) Es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

b) Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre un intervalo I si F'(x)= f(x) para todo x en I. 

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Por ejemplo, sea f (x)= x². No es difícil descubrir una antiderivada de f si utiliza la regla de la potencia. En efecto, si F(x)=1/3 x³, entonces F'(x)= x² = f(x). Pero la función G(x)= 1/3 x³ + 100 también satisface G'(x)]= x². Por lo tanto, F y G son antiderivadas de f. De hecho, cualquier función de la forma H(x)= 1/3 x³ + C, donde C es una constante, es una antiderivada de f. 

Surge la pregunta: ¿hay otras? La respuesta es sí, ya comentado anteriormente.

Para contestar la pregunta, refiérase a la sección 4.2 (del libro Cálculo de una variable, James Stewart, 6ª edición) donde se aplicó el teorema del valor medio para demostrar que si dos funciones tienen derivadas idénticas en un intervalo, en tal caso deben diferir por una constante (corolario 4.2.7).

 Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.

La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.