Se quiere obtener un área S delimitada por dos funciones Y=f(x) y Y=g(x), delimitadas por las restas verticales x=a y x=b. En principio estamos considerando que las funciones son continuas (por lo tanto son integrables) en el intervalo cerrado [a,b].
a) Por aproximación
Para ello haremos un procedimiento análogo, utilizando las sumas de Riemann. La cual consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos.
El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
El ancho de cada franja es determinados por los intervalos:
[x0,x1][x1,x2] =Δx
y de altura h1=f(x1)-g(x1) , así obtenemos rectángulos de área a1=h1*Δx.
Por lo cuál podemos considerar que el área S puede ser expresada como un limite
n
A= lim 𝜮 [F(xi)-g(xi)]Δx
n⟶∞ i=1
La cual se puede simplificar como
n
S= lim 𝜮 hi*Δx
n⟶∞ i=1
Lo cual se interpretaría como la suma de todos los rectángulos generados.
Ejemplo
Hallar el área limitada por Y= x2 + 3 y por Y= - x, acotada por las rectas verticales x=0 y x=2.
Nuestra altura es determinada por h1=f(x1)-g(x1)
h1=(x2 + 3) - (- x)= x2 + 3+ x= x2 + x + 3
Nuestros intervalos serán
(0,0.5)= x2 + x + 3 =(1)2+(1)+ 3=15
2 2 4
(0.5,1)= x2 + x + 3 =(1)2+(1)+ 3=15
2 2 4
(1,1.5)= x2 + x + 3 =(1)2+(1)+ 3=15 Nuestra área seria de 60
2 2 4 4
(1.5,2)= x2 + x + 3 =(1)2+(1)+ 3=15
2 2 4
b) Por integración
Como mostramos el área S es una aproximación de rectángulos de funciones continuas, además de que f ≥ g para cualquier valor de x en el intervalo [a,b]
podemos interpretar que el área S se puede calcular como:
A=[área debajo de f(x)] - [ área debajo de g(x)]
b b b
=∫f(x) dx - ∫g(x) dx = ∫[f(x)-g(x) dx
a a a
Ejemplo:
Hallar el área limitada por Y= x2 + 3 y por Y= - x, acotada por las rectas verticales x=0 y x=2.
Al usar la fórmula:
b
a
Al sustituir e Integrar
2 2 2
A=∫[(x2 + 3) - (-x)] dx = ∫x2 + 3+ x dx= [ x3 +3x + x2 ] = [ (2)3 + (2)2 + 3(2) ]- [0] =
0 0 3 2 0 3 2
= 8 + 4 + 6 = 32
3 2 3
Nuestra area es de 26
3
Podemos ver que el área en ambos procedimientos es diferente, esto se debe a que el primer método tiene un mayor margen de error al tener áreas de rectángulos que sobre pasan las curvas.Por lo cual el según segundo método es mas exacto debido a que el area es dividida en infinitesimales rectángulos.
Referencia
- Araujo F. (2018)Cálculo Integral (1ra ed.)Editorial Universitaria Abya-Yala Quito-Ecuador
- 2017 Universidad abierta y a Distancia de México/División de Ciencias de la Salud, Biológicas y ambientales (Unidad 2 Aplicaciones de integrales)
Comentarios
Publicar un comentario